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電磁気学入門

磁場の発生

前回は、電荷や磁場の時間的な変化によってどのように電場が発生するかを見てきましたが、
今回は磁場がどのように作られるかを考えます。

磁場の存在は磁石に働く力によって身近に知ることができます。
したがって、磁場の発生を磁石から考えていくこともできますが、磁石について議論するためには
磁性体についての知識が必要になります。
ところで、磁場は電流によっても作られることが分かっていますので、ここではまず電流による磁場
の発生について考えていくことにして、磁石による磁場の発生については、磁性体の話をした後で
述べたいと思っています。

実際、電流が磁場を作ることは、ファラデーが電磁誘導の法則を発見をする前にアンペールにより
発見され、アンペールの法則として定量的にまとめられています。

今、ある閉曲面を S とし、この面を通して流れる電流を i とすれば、S の周りに図1のような磁場
が作られます。

電流の作る場

図1 電流の作る磁場

この法則は、ファラデーの法則と同じように磁場の周回積分として、次のように書くことができます。

磁場の周回積分 式 ----- (1)

ここで l は、閉曲面 S を取り囲む境界線で電流の流れる向きに対して、右ねじ方向に周回積分を
とるものとします。また、k は定数です。

この法則から電流が分かっていれば、その電流の作る磁場を計算することができます。
簡単な例として、無限に長い線電流を考えます。
また、閉曲面 S としてこの電流が中心を通る半径 r の円に囲まれた面を考えますと (1)式は、次の
ように書くことができます。

式

これより、この電流から r メートル離れた位置の磁場の大きさは、

式 ----- (2)

となります。この式を使って定数 k を知ることができます。
ここで、次に示す電流の単位アンペアの定義を思い出して下さい。

まず、1メートルの間隔で平行に置かれた2本の電線を考えます。
どちらにも同じ大きさの電流が同じ方向に流れているとき、互いに引き付け合う力が生じます。

平行な電線に働く力

図2 平行な電線に働く力

その力が電線1メートル当たり、 2 x 10-7 ニュートンのときこの電流の大きさを1アンペア と定義します。
1アンペアの電流が1秒間に運ぶ電気量、つまり電荷を1クーロンと定義します。

この定義とローレンツ力の計算から定数 k を計算するのですが、一般に r メートルの間隔で平行に
置かれたどちらも i アンペアの電流が同じ方向に流れる2本の電線を考えますと、一方の電線が
もう一方の電線の位置に作る磁場は(2)式となりますので、ローレンツ力よりこの電線が受ける力は、
次のようになります。

式 ----- (3)

ここで電流が1アンペアの電線間の距離を1メートルとおいたときの力が、2 x 10-7 ニュートンとなります
ので、次の式が成立します。

式

したがって、

式 ( Nm/A2 )

となります。これからこの定数のことを真空の透磁率とよび、 μ0 と書くことにします。
このように書くのはあくまで便宜的なことなので、なぜ、これが真空の透磁率であるかということをここで
考える必要はありません。

今、単位面積を流れる電流密度をベクトルで J と書けば電流 i は、次のように表わすことができます。

式 ----- (4)

ここに n は曲面 S の単位法線ベクトルです。
また、(1)式の左辺はベクトル解析の関係を使って、次のように書き直すことができます。

式

これより(1)式は、

式

となります。この式を変形すれば次式が得られます。

式

この式は、どのような閉曲面について成り立ちますので、結局、次の微分方程式が成立します。

式 ----- (5)

この式は、電流があるとその周りに回転磁場が発生することを示しています。
ただし、この式からだけでは電流密度が分かっていても磁場を決定することはできません。

それを示すために、仮に異なった磁場が同時に(5)式を満たすことが可能であることを示します。

今、(5)式を満たす異なった二つの磁場を B1B2とすれば、次の二式が成立します。

式

式

両式の差を取れば、

式

となりますが、ベクトル解析の関係から回転を取ってゼロとなるベクトルは任意のスカラー 関数の勾配
として表わされますので、次の関係が成り立ちます。

式

ただし、f は任意のスカラー関数です。このように(5)式だけからは磁場を一意に決定する ことはできま
せん。 そこで、この式の両辺の発散をとりますと、

式

となり、ここで磁場の発散が決まっていれば、この式の左辺はゼロとなります。すなわち、

式

であれば、

式

となりますので、例えば無限遠で両方の磁場が等しい場合、全領域でこのスカラー関数 の値が一定と
なるので、B1B2 は等しくなり、磁場を決定することができます。

磁場の発散を決定する法則をここで導入する必要があるわけですが、これについては 経験的に次の
簡単な関係が知られています。

式 ----- (6)

(5)式と(6)式から磁場を決定することができます。
ただし、無限遠で磁場はゼロになるものとします。(6)式より、磁場はあるベクトル場 A の回転として、

式 ----- (7)

と書くことができます。この式を(5)式に代入すると次式が得られます。

式

ベクトル解析の関係

式

を使うと、この式は

式

と変形されます。(7)式の定義の任意性からベクトル場 A に次の条件を与えることができます。

式 ----- (8)

これより、次のポアソンの方程式が得られます。

式 ----- (9)

この式は、無限遠で場がゼロとなる条件で解くことができて、

式 ----- (10)

したがって、磁場は次のように表わされる。

式 ----- (11)

このように電流がすべて既知であれば磁場を計算することができることになります。 ただし、これは
あくまで磁性体が存在しない場合の話であり、磁性体が存在する場合、磁性体も磁場を作るため、
(11)式のように簡単には磁場の計算ができなくなります。

今までは、電荷と電流のみが存在する場合の電場や磁場を調べてきましたが、次回は 誘電体や磁性体
について議論していくつもりです。

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