ITアシストコム株式会社

  1. Home>
  2. 電磁場解析(電磁界シミュレータ)コンシェルジュ >
  3. CAEソリューション >
  4. 電磁気学入門 >
  5. 5. 誘電体と磁性体

電磁気学入門

電磁場の基礎方程式

前回までに得られた電場と磁場に関する方程式をまとめると以下のようになります。

式  ---- (1)

式  ---- (2)

式   ----- (3)

式   ----- (4)

ただし、

式   ----- (5)

式   ----- (6)

です。また、電気伝導率 σ の導体内部ではオームの法則を使って電流密度 J を次のように
書くことができます。

式

ところで、前回の終わりにも述べたように電荷が生成も消滅もしないという経験的な事実があります。
これは、ある領域V を考えたときここから流れ出す電流によって運ばれる電荷の量と、この領域V
減少する電荷の量が等しいというように表現することができます。
この領域V を取り囲む閉曲面を S 、この閉曲面上に外向きにとった単位法線ベクトルを n とすれば
この領域から単位時間当たりに流出する電荷量は、次のように表されます。

式

一方、この領域で単位時間に減少する電荷の総量は

式

となりますから、

式

が成立します。
時間に関する微分と空間積分とはどちらを先に行っても同じなので、この式は次のように書けます。

式

この領域をどこにとってもこの式は成り立ちますので、結局、次の式が成立します。

式   ----- (8)

電荷の生成と消滅がないという経験的な事実は、電荷が保存されることを示しているので、
電荷保存の法則といい、この式のことを連続の式と呼びます。

ここで、(4)式の両辺の発散を取ると次の式が得られます

式     ----- (9)

この式と(8)式を比較すると、

式

が成り立ち、ある場所の電荷密度が時間的に変化できないことになります。
この結果は、明らかに経験事実と反します。(8)式は経験事実をもとに得られたものですから、
(9)式を導いた(4)式に問題があることになります。

このことは、(4)式は経験より得られたものであるが、あくまで近似式であり、ある微小な項が無視
されていることを示しています。

ここで(8)式に(3)式を代入すると次の式が成り立ちます。

式

空間微分と時間微分の順序を入れ替えてもよいので、この式は、

式

となります。
この式の括弧の中は、発散をとるとゼロとなるという意味で(4)式の左辺と同じ性質を持って います。
そこで、(4)式の右辺をこの括弧の中の量で置き換えてみますと次のようになります。

式     ----- (10)

この式の両辺の発散を取れば、連続の式が得られることは今までの議論で明らかです。

この式は、経験的に得られた方程式ではないので、電磁場に関する正しい方程式である、と認めるため
には、ここで付加した右辺第一項の存在によって、導出される結果を経験的事実によって、確認する必要
がありますが、その前にこの式の右辺第一項が第二項に比べて、非常に小さいことを示します。
そうでなければ、(4)式が近似的に成り立っているという経験的な事実と矛盾することになります。

今、場が時間的に一定の周波数 f で振動しているものとしますと、第一項は、

となります。
一方、通常の金属、例えば鉄とか銅では、電気伝導率 σ は、107~ 108( 1 / Ωm )程度ですから、
第二項は(7)式を使い、

σ E107 E

と書けます。これより第一項と第二項の比は、

式 : 107

となります。ここで、誘電率として真空の誘電率を使うと、

式 ~ 5.6 x 10-11

程度となるので、第一項と第二項の比は次のようになります。

式 : 1.8 X 1017 

これより導体内部において、第一項は第二項に比べて非常に小さく、無視できることが分かります。

真空中においては第二項はゼロとなるので、第一項を無視できないように思われるのですが、その
大きさを見積もると、電場の強さを 1 ( V/m ) 程度として

式式式

ここで周波数を100MHzとすれば、この値は、5.6 x 10-3 ( A/m2 ) となりますが、この値は導体を流れる
電流が、1 x 106 ( A/m2 ) 程度であることを考えると非常に小さく、これによって発生する磁場は、通常
無視することができます。
この事実があるからこそ、アンペールの法則、すなわち(4)式がまず実験事実として確立されたのです。

さて、ここで(10)式の右辺第一項の存在によって導出される結果を経験的事実によって、 確認すること
にします。
まず、真空中での電磁場のふるまいを考えますと、電流も電荷も存在しないので(3)式およ び(10)式は
(5)、(6)式を使って

式  ----- (11)

式

と書けます。
もし、アンペールの法則に対する修正項がなければ(12)式の右辺がゼロとなりますので、(12)式は
次のようになります。

式  ----- (13)

この式は、磁場があるスカラー関数の勾配として表されることを示していますので、

式

とかけます。この式と(2)式より、次のラプラス方程式が成立します。

""

考えている領域が十分大きく境界で磁場がゼロとすれば、上の式よりこの領域全域で磁場がゼロと
なります。
そうすれば、(1)式の右辺も消えるので同様の議論からこの領域では電場もゼロとなります。

すなわち、電荷や電流から十分離れたところでは電場も磁場も存在しなくなります。

このことは一見、経験事実と一致しているように思われます

それでは、(12)式の右辺がある場合はどうなるでしょうか。
この場合は、明らかに上の議論は成り立たないので、電磁場がゼロとなるとは限りません。
まず、(1)式の両辺の回転をとると、

式

となります。ベクトル解析の関係

式

と、(12)式を使って変形すれば、

""

となり、さらに(11)式を使うと、結局、次の式が得られます。

""  ----- (14)

同様にして、(12)式の両辺の回転をとることにより、次の式を導くことが出来ます。

""  ----- (15)

(14)式および(15)式は波動方程式であり、波の位相速度 c は、

""   ----- (16)

となります。 この結果は驚くべき結果であり、電荷も電流もない真空の中を電場、磁場が波として
伝わっていくことを示しています。
また、その波の速度を真空の誘電率と真空の透磁率を使って計算すると、

c = 2.99792458 x 108( m/sec )

アンペールの法則に理論的な考察から追加した修正項は、この法則の精度にはほとんど効いてこない
ことを定量的に示したのですが、この項の追加によって電磁波の存在を示すことがで きました。
また、この波の速度が光の速度と一致することより光も電磁波の一種であることが予想されたわけです
が、このことは現在実験的にも確認されています。
これよりアンペールの法則は(10)式のように修正されないといけないことが、経験的事実として示され
ました。

以上の議論より、物質中の電磁場の基礎方程式は、結局(1)、(2)、(3)式および(10)式となることが
分かります。
これらの方程式は、マックスウェルの方程式と呼ばれており、ニュートンの運動方程式が力学の基礎と
なっているように電磁場の基礎となっています。

式  ----- (1)

式  ----- (2)

式  ----- (3)

式  ----- (10)

ここで電磁場の基礎方程式が得られたので、今後この方程式を使って電磁場の性質について、いろいろ
な議論をしていく予定です。

第2章で電荷や電流が電磁場から受ける力を議論したのですが、次回はこの議論を誘電体や磁性体など
の物質が、電磁場から受ける力について考えていきたいと思っています。

戻る 電磁気学入門
トップページへ進む
次へ

ページトップへ