今までは、電磁場を Ｅ、Ｂ などの測定できる量を使って議論してきましたが、マックスウェルの方程式を具体的に解くには、次に示します電磁ポテンシャルを導入した方が便利な場合があります。

まず、マックスウェルの方程式、

divB = 0　　　----- （１）

より、ベクトル解析によると次のベクトル場Ａの存在が保証されます。

B = rotA 　　　----- （２）

このＡのことをベクトルポテンシャルと呼びます。この式をファラデーの法則、

　　　----- （３）

に代入すると次のようになります。

時間微分と空間微分の順序を入れ替えてもよいので、この式は変形して次のようになります。

左辺のカッコの中は回転をとってゼロとなるので、ベクトル解析よりスカラー場Φの勾配として表すことができます。

右辺のマイナス符号は、静的な場合Φが電位と一致するようにしたものです。
Φをスカラーポテンシャルと呼びます。これより電場は、ポテンシャルを使って

　----- （４）

と表すことができます。これらのポテンシャルＡΦはまとめて電磁ポテンシャルと呼ばれますが、電磁ポテンシャルの導入によって、マックスウェルの方程式のうち（１）、（３）式は自動的に満たされることになります。

残りのマックスウェルの方程式、

　　----- （５）

　　----- （６）

を、電磁ポテンシャルを使って表現するために電束密度と磁場の強さを書き換えると、

となります。これより（５）、（６）式は、

となりますが、これらの式を変形すると次のようになります。

　----- （７）

　----- （８）

ここで時間と空間による微分の順序は入れ替えてもかまいませんので見やすいようにしています。
さらに、

を使って（７）、（８）式を変形すると、

　----- （９）

　--- （10）

となります。これらの式は右辺が既知であれば電磁ポテンシャルについて解くことができますが、このままでは複雑な形をしています。

ところで、電磁ポテンシャルはその定義である（２）、（４）式から分かるように一通りには決まりません。
電磁場を表す電磁ポテンシャルＡ₀Φ₀が分かっている場合、次の電磁ポテンシャルＡΦも同じ電磁場を表すことが（２）、（４）式より確かめることができます。

　----- （11）

　----- （12）

ただし、χは任意のスカラー関数です。このようにある電磁ポテンシャルからそれと等価な電磁ポテンシャルへの変更をゲージ変換とよんでいます。また、電磁ポテンシャルのもつこのような任意性をゲージの自由度といいます。

電磁ポテンシャルにこのような任意性があることは、マックスウェルの方程式を書き直した（９）、（10）式の解も一通りに決まらないことになります。そこで、電磁ポテンシャルにある条件をつけて、このような任意性をなくすことが必要になります。

このように任意性をなくすことをゲージの固定と呼びその条件をゲージ条件といいます。
それでは、ゲージの自由度をなくすためのゲージ条件としてどのような条件が許されるのでしょうか。

今与えられた電磁場を表す電磁ポテンシャルＡΦの一組Ａ_Φ0が分かっているとして、よく使われる二つのゲージ条件の例を示します。

まず、クーロンゲージとよばれるゲージ条件では次の条件を与えます。

divA = 0 　　　----- （13）

この条件は（１１）式の発散を取りそれをゼロとすることによって実現できます。

今、Ａ₀はわかっているので

を解き、χを求めることは可能です。このχを使って（11）、（12）式のゲージ変換を行えば、変換後のベクトルポテンシャルＡはクーロンゲージ（13）式を満たすことになります。
この条件によって、電磁ポテンシャルを一通りに決めることができます。

クーロンゲージにおけるマックスウェルの方程式は次のようになります。

　----- （14）

　----- （15）

ここで（14）式はΦだけの方程式となっているのでこの式を解きΦを求めます。
Φが求まれば（15）式はＡだけの方程式になります。

このゲージ条件はスカラーポテンシャルが電荷や分極電荷によって作られるという特徴があり、静電場における電位の概念と一致します。

次に、ローレンツゲージとよばれるゲージ条件では次の条件を与えます。

　----- （16）

この式と、（11）、（12）式より、

となりますので変形してχに関する方程式、

を解き、χを求めることは可能です。このχを使って（11）、（12）式のゲージ変換を行えば変換後の電磁ポテンシャルは、ローレンツゲージ（16）式をみたすことになります。
この式から分かるように、ローレンツゲージ条件を与えても

　----- （17）

を満たすχによるゲージ変換の自由度は残ることになります。

（９）式は

のように書き換えることができますので、ローレンツゲージにおけるマックスウェルの方程式

　----- （18）

　----- （19）

このゲージ条件ではマックスウェルの方程式は、ΦＡに関して独立な方程式となります。
今回は、マックスウェルの方程式を解くために電磁ポテンシャルを導入し、電磁ポテンシャルのゲージ変換について述べました。同じ電磁場を表す電磁ポテンシャルが複数存在し、それらはゲージ変換によって結び付けられています。したがってマックスウェルの方程式を解くためにはゲージの固定を行う必要があるわけですが、これを利用して方程式を問題に応じて解きやすい形にすることができます。

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